数学优化1-数学优化的类型
数学优化（Mathematical Optimization）问题，也叫最优化问题，是指在一定约束条件下，求解一个目标函数的最大值（或最小值）问题。
数学优化问题的定义为：给定一个目标函数（也叫代价函数）$f : \cal{A} → \Bbb{R}$，寻找一个变量（也叫参数）$x^* \in \cal{D}$，使得对于所有$\cal{D}$中的$x，f(x^∗) ≤ f(x)$（最小化）；或者$f(x^∗) \geq f(x)$（最大化），其中$\cal{D}$为变量$x$的约束集，也叫可行域；$\cal{D}$中的变量被称为是可行解。
1. 离散优化和连续优化
根据输入变量$x$的值域是否为实数域，数学优化问题可以分为离散优化问题和连续优化问题。
1.1 离散优化问题
离散优化（Discrete Optimization）问题是目标函数的输入变量为离散变量，比如为整数或有限集合中的元素。离散优化问题主要有两个分支：
- 组合优化（Combinatorial Optimization）：其目标是从一个有限集合中找出使得目标函数最优的元素。在一般的组合优化问题中，集合中的元素之间存在一定的关联，可以表示为图结构。典型的组合优化问题有旅行商问题、最小生成树问题、图着色问题等。很多机器学习问题都是组合优化问题，比如特征选择、聚类问题、超参数优化问题以及结构化学习（Structured Learning）中标签预测问题等。
- 整数规划（Integer Programming）：输入变量$x \in \Bbb{Z}^d$为整数。一般常见的整数规划问题为整数线性规划（Integer Linear Programming，ILP）。整数线性规划的一种最直接的求解方法是：（1）去掉输入必须为整数的限制，将原问题转换为一般的线性规划问题，这个线性规划问题为原问题的松弛问题；（2）求得相应松弛问题的解；（3）把松弛问题的解四舍五入到最接近的整数。但是这种方法得到的解一般都不是最优的，因此原问题的最优解不一定在松弛问题最优解的附近。另外，这种方法得到的解也不一定满足约束条件。
离散优化问题的求解一般都比较困难，优化算法的复杂度都比较高。
1.2 连续优化问题
连续优化（Continuous Optimization）问题是目标函数的输入变量为连续变量$x \in \Bbb{R}^d$，即目标函数为实函数。下文的内容主要以连续优化为主。
2. 无约束优化和约束优化
在连续优化问题中，根据是否有变量的约束条件，可以将优化问题分为无约束优化问题和约束优化问题。
无约束优化问题（Unconstrained Optimization）的可行域为整个实数域$\cal{D} = \Bbb{R}^d$，可以写为
其中$x \in \Bbb{R}^d$为输入变量，$f : \Bbb{R}^d \to \Bbb{R}$为目标函数。
约束优化问题（Constrained Optimization）中变量x需要满足一些等式或不等式的约束。约束优化问题通常使用拉格朗日乘数法来进行求解。
3. 线性优化和非线性优化
如果在公式(1) 中，目标函数和所有的约束函数都为线性函数，则该问题为线性规划问题（Linear Programming）。相反，如果目标函数或任何一个约束函数为非线性函数，则该问题为非线性规划问题（Nonlinear Programming）。
在非线性优化问题中，有一类比较特殊的问题是凸优化问题（Convex Programming）。在凸优化问题中，变量x 的可行域为凸集，即对于集合中任意两点，它们的连线全部位于在集合内部。目标函数f也必须为凸函数，即满足
凸优化问题是一种特殊的约束优化问题，需满足目标函数为凸函数，并且等式约束函数为线性函数，不等式约束函数为凹函数。